针对私立医院的投诉，以下是可以投诉的部门及方式：
县区级卫生局的医政科：
负责调解医疗纠纷，可以直接拨打当地卫生局医政科的投诉电话进行投诉。
物价局：
如果涉及价格问题，如私立医院乱收费，可以向当地价格主管部门举报，如物价局，拨打投诉电话12358。
消费者协会：
消费者在遇到医院收费问题时，可以向消费者协会投诉，通过拨打物价局的投诉热线12358或联系消费者协会调解。
市场监督管理局：
如果发现医院存在价格欺诈、未明码标价等违反市场价格管理规定的行为，可以向市场监督管理局投诉，拨打12315投诉热线或通过当地市场监督管理局的官方网站进行在线投诉。
医疗纠纷办公室或内部管理部门：
医院应设立医患关系办公室或指定部门统一承担投诉管理工作，负责统一受理投诉、调查、核实投诉事项，提出处理意见，并及时答复投诉人。
司法行政部门：
可以负责指导医疗纠纷中的人民调解工作，如果需要法律帮助或调解，可以选择向司法行政部门投诉。
公安机关：
如果遇到扰乱医疗秩序等违法犯罪的行为，可以向公安机关报案。
建议根据具体投诉内容和需求，选择合适的部门进行投诉，以便更有效地解决问题。